如果q^4+q^3+q^2+q+1 是完全平方数，求所有这样的自然数q的和

设f(q)=q^4+q^3+q^2+q+1 ，当q≤3时，f(0)=1，f(1)=5是质数，f(2)=31是质数，f(3)=121=11^2，所以q=0或q=3。当q>3时，有q^2-2q-3>0，即 (2q^2+q)^2=4q^4+4q^3+q^2＜4*f(q)=4q^4+4q^3+4q^2+4q+4＜(2q^2+q+1)^2=4q^4+4q^3+5q^2+2q+1，即 2q^2+q<2√f(q)<2q^2+q+1，所以f(q)不是完全平方数。综上所述，q=0或3，所有这样的自然数q的和为0+3=3。

q=1,q^4+q^3+q^2+q+1=5，不行
q不等于1，q^4+q^3+q^2+q+1=(1-q^5)/(1-q)
q=0,q^4+q^3+q^2+q+1=1=1^2
q=-1,q^4+q^3+q^2+q+1=1=1^2
0-1=-1

若是完全平方数,设q^4+q^3+q^2+q+1=(q^2+Aq+B)^2
得到q^4+q^3+q^2+q+1=q^4+2Aq^3+(A^2+2B)q^2+2ABq+B^2

所以2A=1
A^2+2B=1
2AB=1
B^2=1

A,B无解,所以不存在这样一来的自然数,所以和为0

0

楼上好方法
好久没碰数论了，遇到题都不知道如何下手了，该学习学习了。